L'Attracteur     No. 11    Hiver 2001 LA REVUE DE PHYSIQUE

ISSN 1207-0203

Casse-tête

Solutions aux casse-tête du dernier numéro

Question 1

1. Il faut qu'à une hauteur donnée le long de la tour, la surface transversale de béton soit capable de soutenir le poids de la portion supérieure de la tour (avec la marge de sécurité appropriée, incluse dans la pression maximale P). Si A(z) représente l'aire de la section de la tour à une hauteur z, le poids maximal que cette section peut soutenir est PA(z), où P est la force du béton (en pascals). Considérons maintenant une tranche d'épaisseur infinitésimale dz et de poids rgA(z)dz (poids spécifique rg ◊ volume). La différence d'aire entre les surfaces supérieure et inférieure de cette tranche s'exprime à l'aide de la dérivée : dA = A'(z)dz. Cette différence correspond à une différence de charge égale à PdA = PA'(z)dz, et doit correspondre au poids de la tranche en question. On a donc l'équation différentielle suivante~: PA'(z) = - rgA(z). La seule fonction mathématique qui est proportionnelle à sa dérivée est l'exponentielle, ce qui nous permet d'écrire A(z) = A(0) exp(- rgz/P), A(0) étant l'aire de la base de la tour. En supposant que la section de la tour a la même forme (mais pas la même largeur), quel que soit z, ceci entraîne que la largeur de la tour doit diminuer exponentiellement en fonction de z, comme exp(- rgz/2P), car la section A varie en proportion du carré de la largeur. Cette variation exponentielle sous-entend une tour de hauteur infinie! En réalité, la tour est tronquée à une certaine hauteur maximale, et la solution qui précède néglige cet effet.

Question 2

2. La faille dans le raisonnement d'Olbers est de supposer que l'Univers est éternel et infini. Comme l'Univers provient vraisemblablement d'une explosion initiale survenue il y a environ douze milliards d'années, et que ses dimensions sont finies, il n'y a pas d'étoiles situées à des distances arbitrairement grandes pour que l'argument mathématique tienne le coup. De manière équivalente, la lumière émise par des objets très lointains a été émise il y a très longtemps, de sorte qu'au delà d'une certaine limite aucune étoile n'était encore formée au moment de l'émission de la lumière. Ce paradoxe constitue donc un bon argument en faveur de la finitude de l'Univers.




Nouveaux casse-tête

1. Considérons deux sphères de même poids, de même apparence et de même rayon. L'une est entièrement solide, alors que l'autre est creuse mais remplie de mercure (donc liquide). Comment distinguer les deux par une expérience simple? Comment pourrait-on mesurer le rayon de la cavité remplie de mercure?

2. Un peu de géométrie bidimensionnelle. Un corridor fait un angle droit mais a la même largeur dans les deux sections. Quelle est la forme du plus gros objet (plus grande surface) qu'on puisse glisser d'une section à l'autre de ce corridor?

David Sénéchal j




Mise en page par Gilbert Vachon

revue@physique.usherb.ca